【三角函数公式】三角函数是数学中非常重要的一类函数，广泛应用于几何、物理、工程等领域。常见的三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）以及它们的倒数函数——余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）。以下是对这些基本三角函数公式的总结，便于理解和记忆。
一、基本定义
在直角三角形中，设θ为一个锐角，则：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sinθ） | 对边 / 斜边 |
| 余弦（cosθ） | 邻边 / 斜边 |
| 正切（tanθ） | 对边 / 邻边 |
| 余切（cotθ） | 邻边 / 对边 |
| 正割（secθ） | 斜边 / 邻边 |
| 余割（cscθ） | 斜边 / 对边 |
二、常用三角恒等式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 基本恒等式 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 正切与余切关系 | tanθ = sinθ / cosθ；cotθ = cosθ / sinθ |
| 正割与余割关系 | secθ = 1 / cosθ；cscθ = 1 / sinθ |
| 倒数关系 | tanθ = 1 / cotθ；secθ = 1 / cosθ；cscθ = 1 / sinθ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变化 | 公式表达式 |
| θ + π/2 | sin(θ + π/2) = cosθ；cos(θ + π/2) = -sinθ |
| θ + π | sin(θ + π) = -sinθ；cos(θ + π) = -cosθ |
| -θ | sin(-θ) = -sinθ；cos(-θ) = cosθ |
| π - θ | sin(π - θ) = sinθ；cos(π - θ) = -cosθ |
四、和差角公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 正弦和差 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和差 | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB |
| 正切和差 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 正弦倍角 | sin(2θ) = 2 sinθ cosθ |
| 余弦倍角 | cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角 | tan(2θ) = 2 tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 正弦半角 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = (sinθ)/(1 + cosθ) |
七、积化和差公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| sinA cosB | [sin(A + B) + sin(A - B)] / 2 |
| cosA sinB | [sin(A + B) - sin(A - B)] / 2 |
| cosA cosB | [cos(A + B) + cos(A - B)] / 2 |
| sinA sinB | [cos(A - B) - cos(A + B)] / 2 |
八、和差化积公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| sinA + sinB | 2 sin[(A + B)/2] cos[(A - B)/2] |
| sinA - sinB | 2 cos[(A + B)/2] sin[(A - B)/2] |
| cosA + cosB | 2 cos[(A + B)/2] cos[(A - B)/2] |
| cosA - cosB | -2 sin[(A + B)/2] sin[(A - B)/2] |
通过掌握这些基本公式，可以更高效地解决与三角函数相关的数学问题，尤其是在解三角形、求周期性函数值或进行物理建模时具有重要意义。建议在学习过程中结合图形理解，并多做练习以加深记忆。