【平面解析几何公式汇总】在数学学习中，平面解析几何是研究几何图形与代数方程之间关系的重要工具。它通过坐标系将几何问题转化为代数问题，从而更方便地进行计算和分析。为了便于理解和复习，以下是对平面解析几何中常用公式的总结，涵盖点、线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等基本元素。
一、点与坐标
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 点的坐标表示 | $ P(x, y) $ | 平面上任意一点可用有序实数对表示 |
| 两点间距离公式 | $ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $ | 计算两点之间的距离 |
| 中点公式 | $ M\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $ | 求两点之间的中点坐标 |
二、直线
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 直线的一般式 | $ Ax + By + C = 0 $ | A、B不同时为零 |
| 斜截式 | $ y = kx + b $ | k为斜率，b为y轴截距 |
| 点斜式 | $ y - y_0 = k(x - x_0) $ | 已知一点和斜率 |
| 两点式 | $ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $ | 已知两点求直线方程 |
| 斜率公式 | $ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $ | 两点间的斜率 |
| 两直线平行条件 | $ k_1 = k_2 $ | 斜率相等则平行 |
| 两直线垂直条件 | $ k_1 \cdot k_2 = -1 $ | 斜率乘积为-1则垂直 |
三、圆
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 圆的标准方程 | $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $ | 圆心为$ (a, b) $，半径为r |
| 圆的一般方程 | $ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $ | 可化为标准方程形式 |
| 圆的直径式 | $ (x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0 $ | 已知直径两端点求圆方程 |
四、椭圆
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 椭圆的标准方程（中心在原点） | $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ | a > b时，长轴在x轴上 |
| 焦点坐标 | $ (\pm c, 0) $，其中 $ c = \sqrt{a^2 - b^2} $ | c为焦距 |
| 离心率 | $ e = \frac{c}{a} $，其中 $ 0 < e < 1 $ | 表示椭圆的扁平程度 |
五、双曲线
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 双曲线的标准方程（中心在原点） | $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ | 实轴在x轴上 |
| 焦点坐标 | $ (\pm c, 0) $，其中 $ c = \sqrt{a^2 + b^2} $ | c为焦距 |
| 渐近线方程 | $ y = \pm \frac{b}{a}x $ | 双曲线的渐近线 |
| 离心率 | $ e = \frac{c}{a} $，其中 $ e > 1 $ | 表示双曲线的张开程度 |
六、抛物线
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 抛物线的标准方程（开口向右） | $ y^2 = 4px $ | p为焦点到顶点的距离 |
| 抛物线的标准方程（开口向上） | $ x^2 = 4py $ | p为焦点到顶点的距离 |
| 焦点坐标 | $ (p, 0) $ 或 $ (0, p) $ | 根据开口方向不同而变化 |
| 准线方程 | $ x = -p $ 或 $ y = -p $ | 对应于开口方向 |
七、其他常见公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 角平分线公式 | $ \frac{Ax + By + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \pm \frac{A'x + B'y + C'}{\sqrt{A'^2 + B'^2}} $ | 用于求角平分线方程 | ||
| 点到直线距离 | $ d = \frac{ | Ax_0 + By_0 + C | }{\sqrt{A^2 + B^2}} $ | 点$ (x_0, y_0) $到直线$ Ax + By + C = 0 $的距离 |
通过以上公式的整理，可以系统掌握平面解析几何的基本内容，有助于解决实际问题和提高解题效率。建议结合例题练习，加深对公式的理解与应用。