卡方分布（Chi-squared distribution）是概率论与统计学中一种非常重要的连续概率分布，广泛应用于假设检验、置信区间估计以及实际问题中的数据分析。该分布由英国数学家罗纳德·费雪在20世纪初提出，是一种非对称分布，其形状取决于自由度的大小。
定义
若随机变量 \(Z_1, Z_2, \ldots, Z_k\) 独立且均服从标准正态分布 \(N(0,1)\)，则这些随机变量的平方和 \(Q = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_k^2\) 服从自由度为 \(k\) 的卡方分布，记作 \(Q \sim \chi^2(k)\)。这里，\(k\) 称为卡方分布的自由度。
性质
1. 非负性：卡方分布的所有可能取值都是非负的。
2. 偏斜性：随着自由度的增加，卡方分布逐渐变得对称，但总体上仍保持右偏。
3. 可加性：如果两个独立的卡方分布变量分别具有自由度 \(k_1\) 和 \(k_2\)，它们的和是一个自由度为 \(k_1+k_2\) 的卡方分布变量。
应用
- 假设检验：在检验样本数据是否符合某一理论分布时，常用到卡方检验。例如，可以用来检验分类数据的观察频数与期望频数之间的差异是否显著。
- 拟合优度检验：用于判断观测数据是否与理论分布相匹配。
- 独立性检验：在分析两个或多个分类变量之间是否存在关联时使用。
结论
卡方分布在统计分析中扮演着极其重要的角色，它不仅帮助我们理解数据间的潜在关系，还提供了评估模型拟合质量的有效工具。掌握卡方分布的概念及其应用对于任何从事数据分析或统计研究的人来说都是非常必要的。通过理解和运用卡方分布，我们可以更准确地解读数据，做出更加可靠的决策。