【矩阵的所有公式】在数学中，矩阵是一个由数字或符号按行和列排列的矩形阵列。它广泛应用于线性代数、计算机科学、物理学等多个领域。为了便于理解和使用，以下是对矩阵相关公式的总结，涵盖基本运算、性质及常用公式。
一、矩阵的基本概念
| 概念 | 定义 |
| 矩阵 | 由 m 行 n 列元素组成的矩形数组，记为 A = [a_{ij}]，其中 i ∈ {1,2,...,m}, j ∈ {1,2,...,n} |
| 行向量 | 只有一行的矩阵，如 [a1, a2, ..., an] |
| 列向量 | 只有一列的矩阵，如 [a1; a2; ...; an] |
| 方阵 | 行数与列数相等的矩阵，即 m = n |
二、矩阵的基本运算
| 运算类型 | 公式 | 说明 |
| 矩阵加法 | A + B = [a_{ij} + b_{ij}] | 对应元素相加 |
| 矩阵减法 | A - B = [a_{ij} - b_{ij}] | 对应元素相减 |
| 标量乘法 | kA = [k·a_{ij}] | 每个元素乘以标量 k |
| 矩阵乘法 | AB = C，其中 C_{ij} = Σ_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} | A 的列数必须等于 B 的行数 |
| 转置矩阵 | A^T = [a_{ji}] | 行变列，列变行 |
| 伴随矩阵 | adj(A) | 每个元素替换为其对应的代数余子式并转置 |
| 逆矩阵 | A^{-1} = (1/det(A)) · adj(A) | 仅当 det(A) ≠ 0 时存在 |
三、行列式（Determinant）
| 公式 | 说明 |
| 2×2 矩阵 | det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} |
| 3×3 矩阵 | det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) |
| n×n 矩阵 | 通过展开定理计算，可选择任意一行或一列进行展开 |
四、矩阵的秩（Rank）
| 公式 | 说明 |
| 秩 | 矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目，记为 rank(A) |
| 秩的性质 | rank(A) ≤ min(m,n)，且 rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)) |
五、特征值与特征向量
| 公式 | 说明 | |||
| 特征方程 | A - λI | = 0 | 求解特征值 λ | |
| 特征向量 | Ax = λx，其中 x ≠ 0 | 满足该方程的非零向量 x 称为 A 的对应于 λ 的特征向量 |
六、特殊矩阵及其性质
| 类型 | 定义 | 公式/性质 |
| 单位矩阵 | 对角线上为 1，其余为 0 的方阵，记为 I | AI = IA = A |
| 对角矩阵 | 非对角线元素均为 0 | diag(a1, a2, ..., an) |
| 对称矩阵 | A = A^T | a_{ij} = a_{ji} |
| 反对称矩阵 | A = -A^T | a_{ij} = -a_{ji} |
| 正交矩阵 | A^T A = I | A^{-1} = A^T |
七、矩阵的分解
| 分解类型 | 公式 | 说明 |
| LU 分解 | A = LU | L 为下三角矩阵，U 为上三角矩阵 |
| QR 分解 | A = QR | Q 为正交矩阵，R 为上三角矩阵 |
| SVD 分解 | A = UΣV^T | U 和 V 为正交矩阵，Σ 为对角矩阵 |
| 特征分解 | A = PDP^{-1} | D 为对角矩阵，P 为特征向量矩阵 |
八、其他常用公式
| 公式 | 说明 | ||||||
| trace(A) = Σ_{i=1}^n a_{ii} | 矩阵对角线元素之和 | ||||||
| A | _F = √Σ_{i,j} | a_{ij} | ² | 矩阵的 Frobenius 范数 | |||
| A | _2 = max√(λ_i) | 矩阵的谱范数，λ_i 为 A^TA 的特征值 |
以上是矩阵相关的所有主要公式总结。这些公式构成了线性代数的基础，广泛应用于工程、物理、数据科学等领域。掌握这些公式有助于更深入地理解矩阵的结构与性质，并能够灵活地应用于实际问题中。