【高数定积分公式】在高等数学中，定积分是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济等领域。掌握常见的定积分公式对于解题和理解积分思想具有重要意义。本文将对一些常用的定积分公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本定积分公式
以下是一些基础的定积分公式，适用于初等函数：
| 函数 | 定积分表达式 | 积分结果 |
| $ x^n $ | $ \int_a^b x^n \, dx $ | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $（$ n \neq -1 $） |
| $ e^x $ | $ \int_a^b e^x \, dx $ | $ e^b - e^a $ |
| $ \sin x $ | $ \int_a^b \sin x \, dx $ | $ -\cos b + \cos a $ |
| $ \cos x $ | $ \int_a^b \cos x \, dx $ | $ \sin b - \sin a $ |
| $ \frac{1}{x} $ | $ \int_a^b \frac{1}{x} \, dx $ | $ \ln b - \ln a $（$ a > 0, b > 0 $） |
| $ \frac{1}{x^2} $ | $ \int_a^b \frac{1}{x^2} \, dx $ | $ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} $ |
二、常见函数的积分公式
以下是一些常见函数的定积分公式，适用于更复杂的计算场景：
| 函数 | 定积分表达式 | 积分结果 | ||||
| $ \ln x $ | $ \int_a^b \ln x \, dx $ | $ b \ln b - b - (a \ln a - a) $ | ||||
| $ \sqrt{x} $ | $ \int_a^b \sqrt{x} \, dx $ | $ \frac{2}{3}(b^{3/2} - a^{3/2}) $ | ||||
| $ \tan x $ | $ \int_a^b \tan x \, dx $ | $ -\ln | \cos b | + \ln | \cos a | $ |
| $ \sec^2 x $ | $ \int_a^b \sec^2 x \, dx $ | $ \tan b - \tan a $ | ||||
| $ \csc^2 x $ | $ \int_a^b \csc^2 x \, dx $ | $ -\cot b + \cot a $ | ||||
| $ \sec x \tan x $ | $ \int_a^b \sec x \tan x \, dx $ | $ \sec b - \sec a $ |
三、特殊函数的定积分
部分特殊函数的定积分有固定的表达方式，常用于概率论、物理学等领域：
| 函数 | 定积分表达式 | 积分结果 |
| $ e^{-x^2} $ | $ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx $ | $ \sqrt{\pi} $ |
| $ \frac{1}{1+x^2} $ | $ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx $ | $ \pi $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ | $ \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx $ | $ \pi $ |
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2 + a^2} dx $ | $ \frac{\pi}{a} $（$ a > 0 $） |
四、积分性质与技巧
除了上述公式外，还有一些重要的积分性质和技巧，有助于简化计算：
1. 线性性质：
$ \int_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx $
2. 积分区间可加性：
$ \int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx $
3. 奇偶函数的积分：
- 若 $ f(x) $ 为偶函数，则 $ \int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx $
- 若 $ f(x) $ 为奇函数，则 $ \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 $
4. 变量替换法：
$ \int_a^b f(g(x))g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du $
5. 分部积分法：
$ \int u dv = uv - \int v du $
总结
定积分是高等数学中的核心内容之一，掌握其基本公式和应用技巧对于深入学习微积分至关重要。通过本篇文章的总结与表格展示，可以帮助读者系统地复习和巩固相关知识。在实际应用中，还需结合具体题目灵活运用这些公式与方法。